Aja viide. Aja lugu.

Шар (англ. ball; solid sphere) — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра шара на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга (или круга) вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Шар есть частный случай полной области Рейнхарта^[1].

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности $S$ и объём $V$ шара радиуса $r$ (и диаметром $d=2r$ ) определяются формулами:

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $\left(0;0\right)$ . Уравнение окружности этого круга : $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ , откуда $y^{2}=R^{2}-x^{2}$ .

Функция $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Откуда $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$ Ч. т. д.

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Доказательство

$d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство $(X,\rho )$ . Тогда

Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_{0}\in X$ и радиусом $r>0$ называется множество

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

Замкнутым шаром с центром в $x_{0}$ и радиусом $r$ называется множество

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Замечания

Шар радиуса $r$ с центром $x_{0}$ также называют $r$ -окрестностью точки $x_{0}$ .

Свойства

Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой $\rho$ .
По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке $X$ являют собой её базу.
Очевидно, $B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})$ . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Например: пусть $(X,\rho )$ — дискретное метрическое пространство, и $X$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
Диаграмма Рейнхарта шара в $\mathbb {C} ^{2}$
Диаграмма Рейнхарта шара в $\mathbb {C} ^{3}$
Диаграмма Хартогса шара в $\mathbb {C} ^{2}$

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:^[2]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}

,

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}}{n!!}}R^{n}

.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}

.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}

,

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}

.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности $n-2$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

.

То же без гамма-функции:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
4	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}$
8	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}$
10	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Пространства старших размерностей

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Объём гипершара
Объём гипершара размерности $n$ единичного радиуса в зависимости от $n$

Гипершар

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в $n$ -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при $n=1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при $n=2$ она представляет собой окружность;
при $n=3$ гиперсфера является сферой.
при $n=4$ гиперсфера является 3-сферой.
при $n=5$ гиперсфера является 4-сферой.

…

при $n=8$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные^[3].

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n-1)$ -мерным подмногообразием в $n$ -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}

Сферический слой

Сферический слой — область, заключённая между двумя концентрическими сферами различных радиусов^[4]^[5]^[6].

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка^[7]; шаровой слой^[8].

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой (англ. thin-walled spherical shell^[9])^[10].

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя^[6].

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество $S$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ , которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке $a$ , где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[6]:

S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad

0<r<R

,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координат^[11]^[12]:

S=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,r<|z|<R,\,0<r<R\}

.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства $\mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[11]:

S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.

Шаровой слой

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар^[13].

Основания шарового слоя — это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.
Высота шарового слоя — это расстояние между основаниями слоя.

Объём шарового слоя можно найти как разность объёма двух шаровых сегментов:
$V=\pi \left[H_{1}^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}H_{1}\right)-H_{2}^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}H_{2}\right)\right],$
где $V$ — объём шарового слоя, $H_{1}$ — высота большего шарового сегмента, $H_{2}$ — высота меньшего шарового сегмента, $R$ — радиус шара.
Площадь сферической части поверхности шарового слоя (так называемый сферический пояс) зависит только от высоты слоя и радиуса шара^[14]:
$S=2\pi Rh,$

где

S

— площадь сферического пояса,

h

— высота шарового слоя,

R

— радиус шара.

Примеры

Пусть $\mathbb {R} ^{d}$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

если $d=1$ (пространство — прямая), то

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

если $d=2$ (пространство — плоскость), то
$B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},$

$D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

— открытый и замкнутый диск соответственно.

если $d=3$ , то
$B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$

$D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$ метрику следующим образом:
$\rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.$

Тогда

если $d=2$ , то $U_{r}(x_{0})$ — это открытый квадрат с центром в точке $x_{0}$ и сторонами длины ${\sqrt {2}}$ , расположенными по диагонали к координатным осям.
если $d=3$ , то $U_{r}(x_{0})$ — это открытый трёхмерный октаэдр.

Примечания

↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.
↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ Архивная копия от 10 июня 2010 на Wayback Machine, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
↑ A001676 - OEIS (неопр.). Дата обращения: 1 декабря 2022. Архивировано 1 декабря 2022 года.
↑ Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.
↑ Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.
↑ ¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.
↑ Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.
↑ Aslamazov L. G., Varlamov A. A. The wonders of physics, 2001, 10.1 Soap-bubbles, p. 78.
↑ Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.
↑ ¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
↑ Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.
↑ Мантуров О. В. и др. Словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — С. 512.
↑ Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 638.

Источники

Асламазов Л. Г., Варламов А. А.^[англ.]. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. 4-е изд., перераб. и доп. Под ред. И. А. Яковлева. М.: «Наука», 1977. 272 с.: ил.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
Aslamazov L. G., Varlamov A. A.^[англ.] The wonders of physics. Scientific Editor A. A. Abrikosov Jr. Translators A. A. Abrikosov Jr & D. Znamenski. Singapore · New Jersey · London · Hong Kong: World Scientific, 2001. [Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)]
Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
Weisstein Eric W. Spherical Shell // Wolfram MathWorld Архивная копия от 22 января 2025 на Wayback Machine

Литература

Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

Вычисление объема и площади шара (неопр.). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
Онлайн-калькуляторы (неопр.). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
Математические этюды (неопр.). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара

[_fa333fef62b68428-1] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.

[2] Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ Архивная копия от 10 июня 2010 на Wayback Machine, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

[3] A001676 - OEIS (неопр.). Дата обращения: 1 декабря 2022. Архивировано 1 декабря 2022 года.

[_492f1bde5ae41bac-4] Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.

[_c2c81ee703df71b1-5] Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.

[_0c17ead1221e24fb-6] ¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.

[_e93a175e33295f26-7] Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.

[_bafbb370408bdf46-8] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.

[_5b48261ee10daa58-9] Aslamazov L. G., Varlamov A. A. The wonders of physics, 2001, 10.1 Soap-bubbles, p. 78.

[_2cce28966f034b55-10] Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.

[_d4afb23072eb985d-11] ¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.

[_e9ae92d55cbf5e00-12] Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.

[13] Мантуров О. В. и др. Словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — С. 512.

[14] Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 638.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Топология
Разделы	Теоретико-множественная Маломерная двумерная трёхмерная четырёхмерная Дифференциальная Геометрическая^[англ.] теория узлов теория кос Комбинаторная Гомотопическая Алгебраическая Алгоритмическая
Основные понятия	Метрическое пространство Топологическое пространство Гомеоморфизм Симплициальный комплекс CW-комплекс Вложение Путь петля Гомотопия ретракция изотопия объемлющая изотопия Расслоение Пучок
Многообразия	Поверхность Трёхмерное многообразие Ориентация Связная сумма Разложение на ручки Слоение Бордизм Коэффициент зацепления Степень отображения
Топологические инварианты	Связность Компактность Эйлерова характеристика Первая группа гомологий Первая группа когомологий Числа Бетти Размерность Фундаментальная группа Конфигурационное пространство Группа классов отображений Когомологии Гомотопические группы

Aja viide. Aja lugu.

Värsked postitused

Most Used Categories

Karm areng: Euroopa jaguneb taas Lääne- ja Ida-Euroopaks, Baltimaadele kaitse enam ei laiene

Nüüd selge: Euroopa alustab uut võidurelvastumist, et võita Venemaad

Soomes külvab surma uus narkootikum, Eestis pole sellenimelisest kuuldagi olnud

Kreekas paljastati ulatuslik skeem põllumajandustoetuste väljapetmiseks

USA kavandab 240 000 Ukraina pagulase väljasaatmist

Meedia: Enamus Euroopa riike ei soovi sõdureid Ukrainasse saata ilma USA toetuseta

VAATA OTSE | Kuidas läheb Eesti suusameestel MM-i teatesõidus?

Soomes on 930 000 inimest vaesusohus, kasvab ohustatud laste arv

Kanaaridel tuli lumi maha, lisaks suured üleujutused

Martin Helme

Содержание