Aja viide. Aja lugu.

Стереографическая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})$

Поликру́г (англ. polydisc) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар^[1]^[2].

Синонимы: полидиск^[3]; круговой полицилиндр^[4]^[2]; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$ -метрике^[1]; произведение кругов^[5].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[4].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[6]^[4].

Определение поликруга

Поликруг (англ. open polydisc^[7]; equiradial polydisc^[8]) радиуса $r$ с центром в точке $z_{0}$ — множество точек $z$ комплексного пространства $C^{n}$ произвольной размерности $n$

\Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=

=\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon {\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}

^[1]^[9].

Синонимы: полидиск^[3]; круговой полицилиндр^[4]^[2]; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$ -метрике^[1]; поликруг с равными радиусами (англ. equiradial polydisc^[8]; полицилиндр с равными радиусами^[5]; произведение кругов^[5].

Так определённый поликруг — это шар с центром $z_{0}$ в поликруговой $\rho$ -метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение $n$ плоских кругов

\Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),

\Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,

радиуса $r$ с центрами в точках $z_{0k}$ ^[1].

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса (англ. polydisc; polycylinder)^[10]), $\mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})$ с центром в точке $z_{0}$ — это следующее множество точек^[1]^[3]^[4]^[2]^[10]:

\Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}

.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение $n$ плоских кругов с разными радиусами $r_{k}$ и одним центром $z_{0}$ ^[4]:

\Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),

\Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть $z_{0}=0$ , и единичным радиусом, то есть $r=1$ ^[4].

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точек^[11]:

E^{n}(\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}+{\sqrt {r_{k}^{2}-1}}|<r_{k},\,r_{k}>1,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}.

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

z_{k}=b_{k}+\sum \limits _{p=1}^{n}a_{kp}z'_{p},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n

комплексного пространства^[12].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[4].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[6]^[4].

Граница поликруга

Граница поликруга — множество $\partial \Delta ^{n}$ всех точек, обладающих следующими двумя свойствами^[1]:

хотя бы одна координата $z_{k}$ принадлежит границе $k$ -го круга;
остальные координаты $z_{l},\,l\neq k,$ имеют произвольные значения в замкнутых кругах.

Граница $\partial \Delta ^{n}$ поликруга $\Delta ^{n}$ состоит естественным образом из $n$ множеств

\Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,|z_{l}-z_{0l}|\leqslant r_{l},\,l\neq k\}

размерности $2n-1$ , поскольку на $2n$ координат любой точки $z$ накладывается одно вещественное условие $|z_{k}-z_{0k}|=r_{k}$ . Следовательно, и вся граница $\partial \Delta ^{n}=\bigcup _{k=1}^{n}\Gamma _{k}$ поликруга $(2n-1)$ -мерна^[1].

Остов поликруга — $n$ -мерное пересечение всех множеств границы поликруга $\Gamma _{k}$

\Gamma =\operatorname {Sk} \Delta ^{n}=\partial \Delta _{1}\times \partial \Delta _{2}\times \cdots \times \partial \Delta _{n}=

=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},

которое представляет собой топологическое произведение $n$ окружностей^[1]^[4]^[3].

Бикруг

Определение бикруга

Бикруг (англ. bidisc^[10]^[13]; duocylinder; double cylinder) — поликруг размерности 2. Рассмотрим единичный бикруг (англ. unit bidisc^[14]) радиуса $r$ с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражением^[1]:

\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1\}

.

Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров

(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}<1,\quad

(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}<1,

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным^[15].

Граница бикруга

Граница (англ. boundary^[16]) единичного бикруга есть трёхмерное тело $\partial \Delta =\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$ , причём

\Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\}

тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:

\Gamma _{1}=\bigcup _{\theta =0}^{2\pi }\{z_{1}=e^{i\theta },\,|z_{2}|\leqslant 1\},

а для тела $\Gamma _{2}$ всё аналогично^[15].

Двумерный остов бикруга $\Gamma =\Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}$ есть тор

\Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\}

^[15].

Действительно, рассмотрим отображение

z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,z_{2}=e^{i\theta _{2}},

которое голоморфно преобразует на двумерный остов $\Gamma$ некоторый квадрат

\{0\leqslant \theta _{1}\leqslant 2\pi ,\,0\leqslant \theta _{2}\leqslant 2\pi \},

у которого, поскольку $e^{i(\theta _{k}+2\pi )}=e^{i\theta _{k}}$ , отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен тор^[15].

Этот тор $\Gamma$ , как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей

\{z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,|z_{2}|=1\},\quad \{z_{1}=1,\,|z_{2}|=e^{i\theta _{2}}\},

0\leqslant \theta _{1},\,\theta _{2}<2\pi ,

и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семейств^[15].

Также тор $\Gamma$ есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров

(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}=1,\quad

(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=1,

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в $\mathbb {R} ^{4}$ на трёхмерной сфере

(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}+(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=2

^[15].

Геометрическое представление бикруга

Один из способов геометрического представления бикруга следующий^[17]:

1) выбираем в двумерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$ трёхмерную сферу

\{|z|={\sqrt {2}}\};

2) на сфере фиксируем двумерный тор

\Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\};

3) на тор натягиваем два трёхмерных тела

\Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\},\quad

\Gamma _{2}=\{|z_{1}|\leqslant 1,\,|z_{2}|=1\},

которые лежат в шаровом слое

\{1\leqslant |z|\leqslant {\sqrt {2}}\};

4) объединение $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$ этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.

Слой бикруга

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикругов^[18].

Слой бикруга — точечное множество $\Omega$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$ , который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикруга^[18]:

\Omega \equiv \Delta ^{2}(0,\,R)\setminus {\bar {\Delta }}^{2}(0,\,r),\quad

0<r<R.

Полиобласть

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[4].

Полиобласть (англ. polydomain^[10]) $D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}$ — топологическое произведение $n$ следующих в общем случае плоских многосвязных областей^[4]^[6]^[10]:

D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.

Синонимы: поликруговая область^[4]^[6]; обобщённый полицилиндр^[4]^[2]; полицилиндрическая область^[6]^[19].

Если все плоские области $D_{k}$ односвязны, то в этом случае полиобласть $D$ гомеоморфна шару^[6].

Граница $\partial D$ полиобласти $D$ состоит естественным образом из $n$ множеств

\Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,z_{l}\in {\overline {D_{l}}},\,l\neq k\},\quad

k=1,\,2,\,\dots ,\,n

размерности $2n-1$ ^[4]^[6].

Остов полиобласти $D$ — $n$ мерное пересечение всех множеств $\Gamma _{k}$

\Gamma =\partial D_{1}\times \partial D_{2}\times \cdots \times \partial D_{n}=

=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},

которое представляет собой топологическое произведение $n$ областей^[4]^[6].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 14.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.1.1. Определения, простейшие свойства, с. 9.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ Соломенцев Е. Д. Поликруг, 1984.
↑ ¹ ² ³ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 2. Аналитическое условие для возможности расширения области, с. 120.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.1 Prelilllinaries, p. 2.
↑ ¹ ² Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, Examples 6.3.3, p. 112.
↑ Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.4.4. Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца, с. 18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 5. Аналитические функции в эллиптических полицилиндрах, с. 132.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 6. Области Гартогса и субгармонические функции, с. 201—202.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 1.4.5 Appendix to Section 1.4, p. 65.
↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.11 Exercises, p. 22.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 15.
↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.1 Prelilllinaries, p. 3.
↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 15—16.
↑ ¹ ² Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 3. Результаты Осгуда, с. 191.

Источники

Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
Соломенцев Е. Д. Поликруг // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.

[_e4ae61ef5556205e-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 14.

[_97d4d78dec6702c4-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46.

[_567ba0891d925761-3] ¹ ² ³ ⁴ Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.1.1. Определения, простейшие свойства, с. 9.

[_1a8fbdb0a6b89cb6-4] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ Соломенцев Е. Д. Поликруг, 1984.

[_7f2ce8ae21be8f48-5] ¹ ² ³ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 2. Аналитическое условие для возможности расширения области, с. 120.

[_fa333fef62b68428-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.

[_48d22f276e75db2f-7] Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.1 Prelilllinaries, p. 2.

[_36c72a3cd734f639-8] ¹ ² Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, Examples 6.3.3, p. 112.

[_2f96fdb5bcb9208d-9] Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.4.4. Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца, с. 18.

[_8c5af43f35537dda-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6.

[_32ec7c397416c7a6-11] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 5. Аналитические функции в эллиптических полицилиндрах, с. 132.

[_90282c6e70ac19f3-12] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 6. Области Гартогса и субгармонические функции, с. 201—202.

[_c1f3dafcaf2975be-13] Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 1.4.5 Appendix to Section 1.4, p. 65.

[_e373a3fd47a55a96-14] Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.11 Exercises, p. 22.

[_eefe44ef5ba5dac5-15] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 15.

[_3e671c27680f0878-16] Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.1 Prelilllinaries, p. 3.

[_f375c03e457c42d2-17] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 15—16.

[_fd37c38dd17861ec-18] ¹ ² Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8.

[_4ef69809e42620f7-19] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 3. Результаты Осгуда, с. 191.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

Aja viide. Aja lugu.

Värsked postitused

Most Used Categories

Helsingi metrooliikluses tuleb poole aasta pikkune seisak

Prints William teeb visiidi Eestisse

Henry Sildaru ei pääsenud Big Airi kvalifikatsioonist edasi

Uskumatu lugu: kuidas 400 sõdurit lõid põgenema 7000-mehelise vastase väe (lisatud video)

Soome asjatundja: USA relvarahu ettepanek oli ilmselt Venemaaga läbi arutatud

Soome parlamendis anti korraldus siirduda kaugtööle

Soome president kommenteeris Ukraina relvarahu ettepanekut

Soome asjatundja: Venemaa ei nõustu relvarahuga

Norstat: uue valitsusliidu toetus on kokku 19 protsenti

Kaja Kallas

Содержание

Определение поликруга

Граница поликруга

Бикруг

Определение бикруга

Граница бикруга

Геометрическое представление бикруга

Слой бикруга

Полиобласть

Примечания

Источники