Hilberti ruum
Hilberti ruum on eukleidilise ruumi üldistus. See on vektorruum, milles on defineeritud skalaarkorrutis ja mis on skalaarkorrutise kaudu defineeritud normi
suhtes koondumise suhtes täielik.[1] Nurksulud tähistavad skalaarkorrutist.
Hilberti ruume kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandite teoorias, kvantfüüsikas ja signaalitöötluses.
Seos meetriliste ruumidega
- Meetrilised ruumid ⊃ Normeeritud ruumid ⊃ Banachi ruumid ⊃ Hilberti ruumid ⊃ Eukleidilised ruumid.
Definitsioon
Hilberti ruum on vektorruum üle reaalarvude korpuse või üle kompleksarvude korpuse,[2]:
- milles on antud eeskiri, mis võimaldab määrata ruumi mis tahes kahe elemendi ja puhul nende skalaarkorrutise ;
- see eeskiri täidab järgmisi nõudmisi:
- (kommutatiivsus reaalarvude korpuse korral) või (kommutatiivsus kompleksarvude korpuse korral, kriips on kaaskompleksarvu märk)[3];
- (distributiivsus);
- iga reaalarvu korral;
- , kui , ja , kui .
- mis on täielik selle skalaarkorrutisega genereeritud meetrika suhtes. Kui ruumi täielikkuse tingimus ei ole täidetud, siis räägitakse eel-Hilberti ruumist. Ent enamik teadaolevaid (kasutatavaid) ruume on kas täielikud või täielikustatavad.
Hilberti ruum on seega Banachi ruum (täielik normeeritud ruum), mille norm on genereeritud positiivselt määratud skalaarkorrutisega ja defineeritakse kui .
Viited
- ↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
- ↑ Шилов Г. Е.. Математический анализ. Специальный курс, М.: Физматлит 1961, lk 181.
- ↑ Шилов Г. Е.. Математический анализ. Специальный курс, М.: Физматлит 1961, lk 23.